小学奥数面积计算(综合题型)
王启民-下划线怎么打出来
第十八周
面积计算（一）
专题简析：
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联
系
，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以
深化，
再运用我们已有的基本几何知识，
适当添加辅助线，
搭一座连通已知条件与所求问题
的小
“桥”
，
就会使你顺利达到目的。
有些平面图
形的面积计算必须借助于图形本身的特征，
添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等
方法，对图形进行恰当合理的变形，
再经过分
析推导，方能寻求
出解题的途径。
图形面积）
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容
< br>.
要会计算面积，首先要能识别一些特别的图
形：正方形
、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积
.
如果我们把这
些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算
.
上面左图是边长为
4
的正方形，
它的面积是
4<
/p>
×
4
＝
16
（格）
；
右图是
3
×
5
的长方形，
它的面积是
< br>3
×
5
＝
15
（格）
.
上面左
图是一个锐角三角形，它的底是
5
，高是
4
，面积是
5
×
4
÷
2
＝
10
（格）
；右图
是一个钝角三角形，底是
4
，
高也是
4
，它的面积是
4
×
4
÷
2
< br>＝
8
（格）
.
< br>这里特别说明，这两
个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的
外面
.
上面左图是一个平行四边形，底是
5
，
高是
3
，它的面积是
5
×
3
＝
15<
/p>
（格）
；右图是
一个梯形，上底是
4
，下底是
7
，高是
4
，它的面积是
（
4+7
）×
4
÷
2
＝
22
（格）
.
上面面积计算的单位用“
格”
，一格就是一个小正方形
.
如果小
正方形边长是
1
厘米，
1
格就是
1
平方厘米；
如果小
正方形边长是
1
米，
1
格就是
1
平方米
.
也就是说我们设定一个方
格的边长是
1
个长度单位，
1
格就是一个面积单位
.
在这一讲中，
我们直接用数表示长度或面
积，省略了相应的长度单位和面积单位
.
一、三角形的面积
用直线组成的图形，
都可以划分成若
干个三角形来计算面积
.
三角形面积的计算公式是：
三角形面积
=
底×高÷
2.
这个公式是许多面积计算的基础
.<
/p>
因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用
.
例
1 <
/p>
右图中
BD
长是
4
，
DC
长是
2
，那么三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的多
少倍呢？
< br>解：
三角形
ABD
与三角形
ADC
的高相同
.
三角形
A
BD
面积
=4
×高÷
< br>2.
三角形
ADC
面积
=2
×高÷
2.
因此三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的
2
倍
.
注意：
三角形的任意一边都可以看
作是底，
这条边上的高就是三角形的
高，
所以每个三角形都可看成有三个底，
和相应的三条
高
.
例
2
右图中
，
BD
，
DE
，
EC
的长分别是
2
< br>，
4
，
2.F
< br>是线段
AE
的中点，三角形
AB
C
的
高为
4.
求三角形
DFE
的面积
.
解：
BC
＝
2
＋
4
＋
2
＝
8.
三角形
ABC
面积
=
8
×
4
÷<
/p>
2
＝
16.
我们把
A
和
D
连成线段，
组成三角形
ADE
，
它与三角形
ABC
的高相同，
而
DE
长是
4
，
也是
BC
的一半，因此三角形
ADE
面
积是三角形
ABC
面积的一半
.
同样道理，
EF
是
A
E
的
一半，三角形
DFE
面积是三角形
ADE
面积的一半
.
三角形
DFE
面积
= 16
< br>÷
4
＝
4.
例
3
右图中
长方形的长是
20
，宽是
12
，求它的内部阴影部分面积
.
解：
AB
EF
也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与
BE
一样长
.
而三个三角形底边的长加起来，就是
FE
的长
.
因此这三个三角形的面积之和是
FE
×
BE
÷
2
，
它恰好
是长方形
ABEF
面积的一半
.
同样道理，
FECD
也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的
一半
.
因此所有阴影的面积是长方形
ABCD
面积的一
半，也就是
20
×
12
÷
2
＝
120.
通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解
.
当我们画出中间两个三角形的高线，把
每个三角形分
成两个直角三角形后，
图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，
而长方形
ABCD
是由这若干个长方形拼成
.
因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方
形
ABCD
面积的的一半
.
例
4 <
/p>
右图中，
有四条线段的长度已经知道，
还
有两个角是直角，
那么四边形
ABCD
（阴
影部分）的面积是多少？
解：
把<
/p>
A
和
C
连成线段
，四边形
ABCD
就分成了两个，三角形
ABC
和三角形
ADC.
对三角形
ABC
来说，
AB
是底边，高是
10
，因此
面积
=4
×
10<
/p>
÷
2
＝
20.
对三角形
ADC
来说，
DC
是底边，高是
8
，因此
面积
=7
×
8
÷
2
＝
28.
四边形
ABCD
面积
=
20
＋
28
＝
48.
这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面
.
例
5
在边长
为
6
的正方形内有一个三角形
BEF<
/p>
，线段
AE
＝
3
，
DF
＝
2<
/p>
，求三角形
BEF
的面积
.
< br>解：
要直接求出三角形
BEF
的
面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的
面积
三角形
ABE
面积
=3
×
6
×
2
＝
9.
三角形
BCF
面积
= 6
×（
6-2
）÷
2
＝
12.
三角形
D
EF
面积
=2
×（
6-3
）÷
2
＝
< br>
3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
三角形
BEF
面积
=6
×
6-9-12-3
＝
12.
例
6 <
/p>
在右图中，
ABCD
是长方形，三条线段
的长度如图所示，
M
是线段
DE
的中点，
求四边形
ABMD
< br>（阴影部分）的面积
.
解：
四边形
ABMD
中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形
DCE
与三角形
MBE
的面
积，然后用长方形
ABCD
的面积减去它们，由此就可以求得四
边
形
ABMD
的面积
< br>.
把
M
与
C
用线段连起来，将三角形<
/p>
DCE
分成两个三角形
.
三角形
DCE
的面积是
7
×
2
÷
2
＝
7.
因为
M
是线段
DE
的中点，三角形
DMC
与三角形<
/p>
MCE
面积相等，所以三角形
MCE
面积是
7
÷
2
＝
3.5.
因为
BE
＝
8
是
CE
＝
2
的
4
倍，三角形
MBE
与三角形
MCE
高一样，因此
三角形
MBE
面积是
3.5
×
4
＝
14.
长方形
A
BCD
面积
=7
×（
< br>8
＋
2
）
=70.
四边形
ABMD
面积
=70-7-
14
＝
49.
二、有关正方形的问题
先从等腰直角三角形讲起
.
一个直角三角形，
它的两条直角边一样长，
这样的直角三角形，
就叫做等
腰直角三角形
.
它有一个直角（
90<
/p>
度）
，还有两个角都是
45
度，通常在一副三角尺中
.
有一个就是等腰直角
三角形
.
<
/p>
两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（
a
）
.
四个一样的等腰直角三
角形，也可以拼成一个正方形，如图（
b
）
.
一个等腰直角三
角形，当知道它的直角边长，从图（
a
）知，它的面积是
直角边长的平方÷
2.
当知道它的斜边长，从图（
b
）知，它的面积是
斜边的平方÷
4
例
7
右图
由六个等腰直角三角形组成
.
第一个三角形两条直角边长是
8.
后一个三角形的
直角边长，恰好是前一
个斜边长的一半，求这个图形的面积
.
解：
从前
面的图形上可以知道，
前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，
等于后一
个等腰直角三角形四个拼成的正方形
.
因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，
第一个等腰直角三角形
的面积是
8
×
8
÷
2
＝
32.
这一个图形的面积是
32
＋
16
＋
8
＋
4
＋
2
＋
1
＝
63.
例
8 <
/p>
如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是
2
，
A
点是大长方形一边的中点，
并且三角形
ABC
是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总
面积是多少？
解：
为了说明的方便，在图上标上英
文字母
D
，
E
，
F
，
G.
三角形
A
BC
的面积
=2
×
2
÷
2
＝
2.
三角形
ABC
，
ADE
，
EFG
都是等腰直角三角形
.
三角形
A
BC
的斜边，
与三角形
ADE
的直角边一样长，因此三角形
ADE
面积
=ABC
面
积×<
/p>
2
＝
4.
三角形
EFG
的斜边与三角形
ABC
的直角边一样长
.
因此三角形
EFG
面积
=ABC
面积÷
2
＝
1.
阴影部分的总面积是
4
＋
1
＝
5.
例
9
如右图
，
已知一个四边形
ABCD
的两条边的
长度
AD
＝
7
，
BC
＝
3
，
三个角的度数：
角
< br>B
和
D
是直角，角
A
是
45
°
.
求这个四边形的面积
.
解：
这个
图形可以看作是一个等腰直角三角形
ADE
，切掉一个等腰直角
三角形
BCE.
因为
<
/p>
A
是
45
°，角
D
是
90
°，
角
E
是
180
°
-
45
°
-90
°＝
45
°，
所以
AD
E
是等腰直角三角形，
BCE
也是等腰
直角三角形
.
< br>四边形
ABCD
的面积，是这两个等腰直角三角形面积之
差，即
7
×
7
÷
2-
3
×
3
÷
2<
/p>
＝
20.
这是
1994
小学数学奥林匹克决赛试
题
.
原来试题图上并没有画出虚线三角形
.
参赛同学
是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形<
/p>
.
因此做对这道题的人数不多
.
但是有一些同
学，用直线
AC
< br>把图形分成两个直角三角形，
并认为这两个直角三角形是一样的，
这就大错
特错了
.
这样做，角
A
是
45
°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，
是不能靠眼睛来测定的，
必须从几何学上找出根据，
小学同学尚未学过几何，
千万不要随便
对图形下结
论
.
我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索
.
有
45
°和直角，
你应首先考虑
等腰直角三角形
.
现在我们转向正方形的问题
.
例
10
在右图
11
×
15
的长方形内，
有四对正方形
（标号相同的两个正方形为一对）
，
每
一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？
解：
长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”
、
“三”与“二”三个正方形的边长之和
.
长
-
宽
=15-11
＝
4
是“三”正方形的边长
.
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此
中间小正方形边长
=11-4
×
2
＝
3.
中间小正方形
面积
=3
×
3
＝
9.
如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了
.
例
11
从一
块正方形土地中，划出一块宽为
1
米的长方形土地（见图）
，剩下的长方形
土地面积是
15.75
平方米
.
求划出的长方形土地的面积
.
解：
剩下的长方形土地，我们已知道
长
-
宽
=1<
/p>
（米）
.
还知道它的面积是
15.75
平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了
.
我们把长和宽拼在一起，如右图
.
从这个图形还不能算出长与宽之和
，
但是再拼上同样的两个正方形，
如下图就拼成一个
大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和
.
可是这
个大正方形的中间还有一个空洞
.
它也是一个正方形，仔细观察
一下，就会发现，
它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于
1
米
.
现在，我们就可以算出大正方形面积：
15.75
×
4+1
×
1
＝
64
（平方米）
.
64
是<
/p>
8
×
8
，大正方
形边长是
8
米，也就是说长方形的
长
+
宽
=8
（米）
.
因此
长
=
（
8
＋
1
）÷
2
＝
4.5
（米）
.
宽
=8-
4.5
＝
3.5
（米）
.
那么划出的长方形面积是
4.5
×
1
＝
4.
5
（平方米）
.
例
12
如
右图
.
正方形
ABCD
与正方形
EFGC
并放在一起
.
已知小正方形
EFGC
的边长是
6
，求三角形
AEG
（阴影部分）的面积
.
解：
四边形
AECD
是一个梯形
.
它的下底是
AD
，上底是
EC
，高是
CD
，因此
四边形
A
ECD
面积
=
（小正方形边长
+
大正方形边长）×大正方形边长÷
2
三角形
A
DG
是直角三角形，它的一条直角边长
DG=
< br>（小正方形边长
+
大正方形边长）
，
因此
三角形
ADG
面积
=
（小正方形边长
+
大正方形边长
）×大正方形边长÷
2.
四边形
AECD
与三角形
< br>ADG
面积一样大
.
四边形
AHCD
是它们两者共有，
因此，
三角
形
AEH
与三角形
HCG
面积相等，都加上三角形
EHG
面积后，就有
阴影部分面积
=
三角形
ECG
面积
=
小正方形面积的一半
= 6
×
6
÷
2
＝
18.
十分
有趣的是，
影阴部分面积，
只与小正方形边长有关，
而与大正方形边长却没有关系
.
三、其他的面积
这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧
< br>.
有些例题看起来不难，但可以给你启发的
内容不少，请
读者仔细体会
.
例
13
画在方格纸上的一个用粗线围
成的图形（如右图）
，求它的面积
.
解：直接计算粗线围成的面积是困
难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计
算
.
周围小正方形有
< br>3
个，面积为
1
的三角形有
5
个，面积为
1.5
的三角形有
1
个，因此围
成面积是<
/p>
4
×
4-3-5-1.5
＝
6.5.
例
6
与本题在解题思路上是完全类同的
.
例
14
下图中
ABCD
是
6
×
8
的长方形，
AF
长是
4
，求阴影部分三角形<
/p>
AEF
的面积
.