小学奥数 幻方(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
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5-1-4-1.
幻方（一）
教学目标
1.
会用罗伯法填奇数阶幻方
2.
了解偶数阶幻方相关知识点
3.
深入学习三阶幻方
知识点拨
一、幻方起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它
编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于
事，每
年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是
3
行，竖着数是
3
列，每块
乌龟壳上都有几个点点，正好凑成
1
< br>至
9
的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一
次，大乌龟
又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：
“<
/p>
瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，
结果都等
于十五！
”
于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河
水果然从此不再泛滥了．这个神奇
的图案叫做
“
幻方
”
，由于它有
3
行
3
列，所以叫做
“<
/p>
三阶幻方
”
，这个相等的和叫做
“
幻和
”
．
“
洛书
”
就是幻和
为
15
的三阶幻方．如下图：
4
3
8
9
5
1
2
7
6
我国北周时期的数学家甄鸾在《算
数记遗》里有一段注解：
“
九宫者，二四为肩，六八为足，左三
右七，戴九履一，五居中央．
”
这段文
字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻
方又叫做九宫图，九宫
图的幻方民间歌谣是这样的：
“
四海三山八仙洞，九龙五子一枝
连；二七六郎赏月
半，周围十五月团圆．
”
幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
二、幻方定义
幻方是指横行、竖列、
对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的
3
3
的数阵称作三阶幻方，
4
< br>
4
的数阵称作四阶幻方，
5<
/p>
5
的称作五阶幻方
……
如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
1
8
3
4
1
5
9
6
7
2
1
5
1
4
6
7
4<
/p>
9
5
1
6
1
2
8
1
0
1
1
3
2
1
3
三、解决这幻方常用的方法
⑴
适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时
往下
填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
⑵
适用于三阶幻方的三大法则有：
①
求幻和：
所有数的和
÷
行数（或列数）
②
求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫
“
中心数
”
，中心数＝幻和
÷
3
．
③
角上的数
=
与它不同行、不
同列、不同对角线的两数和
÷
2
．
四、数独
数独简介：
（日语：数独
すうどく）是一种源自
18
世纪末的瑞士，后在美
国发展、并在日本得以发扬光大
的数学智力拼图游戏。如今数独的雏型首先于
1970
年代由美国的一家数学逻辑游戏杂志发表，当时名为
Number Place
。现今流行的数独于
19
84
年由日本游戏杂志《パズル通信ニコリ》发表并得了现时的名称。数
独本是
“
独立的数字
”
的省略，因为每一个方格都填上一个个位数。
数独可以简单的数为：让行与列及单元格
的数字成规律性变换的一类数字谜问题
解题技巧：
数独游戏中最常规的办法就是利
用每一个空格所在的三个单元中已经出现的数字（大小数独一个
空格只位于两个单元之内
，但是同时多了一个大小关系作为限制条件）来缩小可选数字的范围。
总结
4
个小技巧：
1
、
巧选突
破口：数独中未知的空格数目很多，如何寻找突破口呢？首先我们要通过规则的限制来分析
每一个空格的可选数字的个数，然后选择可选数字最少的方格开始，一般来说，我们会选择所在行、
所在列和所在九宫格中已知数字比较多的方格开始，尽可能确定方格中的数字；而大小数独中已知< /p>
的数字往往非常少，这个时候大小关系更加重要，我们除了利用已知数字之外更加需要考虑
大小关
系的限制。
2
、
相对不
确定法：有的时候我们不能确定
2
个方格中的数字，却可以确定
同一单元其他方格中肯定不
会出现什么数字，
这个就是我们说的
相对不确定法。
举例说明，
A1
可以填
入
1
或者
2
，
A2
也可以填
入
1
或者
2
，
那么我们可以确定，
1
和
2
必定出现在
A1
和
A2<
/p>
两者之中，
A
行其他位置不可能出现
1
或者
2.
3
、
相对排
除法：某一单元中出现好几个空格无法确定，但是我们可以通过比较这几个空格的可选数字
进行对比分析来确定它们中的某一个或者几个空格。举例说明，
A
行中已经确定
5
个数字，还有
4<
/p>
个数字（我们假设是
1
、
2
、
3
、
4
）没有填入，通过这
4
个空格所
在的其他单元我们知道
A1
可以填
入<
/p>
1
、
2
、
3
、
4
，
A2
可以填入
1
、
3
，
A3
可以填入<
/p>
1
、
2
、
3
，
A4
可以填入<
/p>
1
、
3
，这个时
候我们可以
分析，数字
4
只能填入
A1
中，
所以
A1
可以确定填入
4
，我们就可以不用考虑
A1
，
这样就可以发现
2
只能填入
A3
中，所以
A3
也能确定，
A2
和
A4
可以通过其他办法进行确定。
4
、
假设法
：如果找不到能够确定的空格，我们不妨进行假设，当然，假设也是原则的，我们不能进行
无意义的假设，假设的原则是：如果通过假设一个空格的数字，可以确定和这个空格处在同一个单
元内的其它某一个或者某几个空格的数字，那么我们就以选择这样的空格来假设为佳。举例说明，
B3
可以填入
1
或
者
2
，
A3
可
以填入
2
或者
3
，
B4
可以填入
1
< br>或者
2
，这个时候我们就应该假设
B3
填入
2
，这样就可以确定
A3
填入
3
，
B4
填入
1
，然后以
这个为基础进行推理，如果推出违反规则的
情况出现，那么这个假设就是错误的，我们回
到假设点重新开始。
例题精讲
模块一、构造幻方
【
例
1
】
3
3
的正方形中，在每个格子里分别填入<
/p>
1~
9
的
9
个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的
和相等（请给出至少一
种填法）
．
【考点】构造幻方
【难度】
1
星
【题型】填空
【解析】
方
法一：第一步：求幻和：
（
1
2
3
9
）
3
15
< br>第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫
“
中
心数
”
，仔细观察可以发现：除了
对角
线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上
的数字总和是
幻和的
4
倍，
即
15
4
60
，
显然，
在这个总和中，
中心数用了四次，
其余各数正好各用一次，所以中心数应是：
（
60
45
）
3
5
第三步：确定四个角上的数．由于在同一条直线上
的三个数的和是
15
，所以如果某格中的
数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同，所以四个角
上的数
必为偶数．
第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础
，可绕中心旋转与对调得到其它各解，
共
8
解，下图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：
2
7
6
9
5<
/p>
1
4
3
8
方法二（对易法）
：
南宋数学家杨辉概括为
:“
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
”
．
即：先把
1
到
9
九个
数字按顺序斜着排列，再把上下的数字
1
和
9
对调，左右的数字
7
和
3
对调，最后把
4
个不
在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形
成了．
1
4
7
8
9
5
6<
/p>
2
3
3
8
4
5
6
1
9
2
7
3
8
5
1
7
6
4
9
2
方法三（阶梯法）
：
阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家
巴赫特创造的．这个方法看起来有点像对易法，但又完
全不一样，十分简单而巧妙，适用
于所有奇数阶幻方．这个方法把
n
阶方阵从四周向外扩
展成阶梯状，然后把
n
2
个自然数顺阶梯方向先码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内
其对边部分去，即构
成幻方．下图表示了如何用阶梯法构成
3
阶幻方．
2
7
6
< br>9
5
1
4
3
8
方法二和方法三中将
1~
9
按
8
个不同的方位排列就可以得到本题
8
个不同的解．
方法四（罗伯法）
：
把
1
（
或最小的数
）
放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：
⑴
每一个数放在前一个数的右上一格；
⑵
如果这个数所要放的格已经超出了
最顶行，
那么就把它放在最底行，
仍然要放在右一列．
⑶
如果这个数所要
放的格已经超出了最右列，
那么就把它放在最左列，
仍然要放在
上一行．
⑷
如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，
或者同时超出了最顶行和最右列，
那么就
把它放在前一个数的下面，具体如下图：
1
1
3
2
2
1
3
4
2
1
1
3
4
5
2
6
3
4
1
< br>5
6
7
2
8
3
4
1
5
6
7
2
8
3
4
1
5
9
6
7
2
这是法国人罗伯特总结出的方法，所以叫
“
罗伯法
”
．罗伯法的口诀：一居上行正中央，
后
数依次右上连．
上出框时往下填，
右
出框时往左填．
排重便在下格填，
右上排重一个样．
它
对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，
适用于所有奇数
阶幻方．
【答案】
8
3
4
1
5
9<
/p>
6
7
2
【
例
2
】
3
3
的正方形格子中，在每个格子里分别填
入
2
~10
的
9
个数字，要求每行每列及对角线上的三个
数的和相等（请给出
至少一种填法）
．
【考点】构造幻方
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
第
一步：求幻和：
（
2
3
4
9
10
）
3
1
8
．
第二步：求中心数：我们把幻方
中对角线交点的数叫
“
中心数
”
，仔细观察可以发现：除了对角线外，
第二行、第二列也分别经过中心
数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的
4
倍，
即
18
4
72
，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各
用一次，所
以中心数应是：
（
72
54
）
3
6
．
第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数．
第四步：
用尝试法填一个基本解，<
/p>
以基本解为基础，
可绕中心旋转与对调得到其它各解，
共
8
解．
下
图为其中一解，其余解均可由其翻转或旋转得到：
7
2
9
8
6<
/p>
4
3
10
5
其他方法这里不再做介绍，同学们可以自己尝试练习．
【答案】
7
2
9
8
6<
/p>
4
3
10
5
【
例
3
】
用
11
，
13
，
15
，
17
，
19
，
21
，
23
，
25
，
27
编制成一个三阶幻方。
【考点】构造幻方
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
方
法一：给出的九个数形成一个等差数列，
1
～
< br>9
也是一个等差数列．不难发现：中间方格里的数
字应填等差数列的中间数，也就是第五个数，即应填
19
；填在四个角上方格中的数是位
于偶数项的数，
即
13
，
17
，
21
，
25
，而且对角两数的和相等，即
13
2
5
17
2
1
；余下
各数就不难填写了
(
见下图
)
．
13
23
21
27
19
11
17
15
25
与幻方相反的问题是反幻方．将九
个数填入
3
3
(
三行三列
)
的九个方格中，使得任
一行、
任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方
．
方法二：用阶梯法，在三阶幻方的上下左右的中间添加一格，
先将数字按从小到大的顺序，以斜行
方向从左下向右上依次填写，再把添加格内的数填到
本行
(
或本列
)
中相隔两行
(
或两列
)
的方
格中．
23
17
11
13
15
19
21
25
27
11
13
15
17
19
21
23
25
27
17
27
13
15
25
19
11
23
21
27
方法三：对易法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．
11
17
23
25
27
19
21
13
15
23
< br>25
11
17
19
21
27
13
15
15
25
11
17
19
13
17<
/p>
27
13
23
15
19
2
3
25
11
21
21
方法四：
用罗伯法的口诀：
一居上行正中央
，
后数依次右上连．
上出框时往下填，
右出框时往左填．
排
重便在下格填，右上排重一个样．
【答案】
13
23
21
27
19
11
17
15
25
【
例
4
】
如下图
的
3
3
的阵
列中填入了
1~
9
的自然数，
构成大家熟知的
3
阶幻方．
现在另有一个
3
3
的阵
列，请选择
9
个不同自然数填入
9
个方格中，使得其中最大
者为
20
，最小者大于
5
，且要求横加、
竖加、对角线方式相加的
3
个数之和都相等．
4
3
8
9
5
1<
/p>
2
7
6
【考点】
构造幻方
【难度】
3
星
【题型】填空
【解析】
观
察原表中的各数是从
1
～
9
不同的九个自然数，其中最大的数是
9
，最小的数是
1
，且横
加、竖加、
对角线方式相加结果相等．根据题意，要求新制的幻方最大数为
20
，而
9
11
20
，因此，如果原
表中的各数都增加
11
，就能符合新表
中的条件了．如下图．
15
14
19
20
16
12
13
18
17
【答案】
15
14
< br>19
20
16
12
13
18
17
【
例
5
】
从
1
、
2
、
3…20
这
20
个数中
选出
9
个不同的数放入
3×
3
的方格表中，使得每行、每列、每条对角
线上的
三个数的和都相等。这个
9
个数中最多有
_______
个质数。
【考点】幻方性质
【难度】
4
星
【题型】解答
【关键词】走美杯，四
年级，初赛，第
4
题
【解析】
最多有
7
个质数
【答案】
7
【
例
6
】
请你将
1~
25
这二十五个自然数填入
5
5
的空格内使每
行、每列、每条对角线上的五数之和相等．
【考点】构造幻方
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
①
罗伯法：教师边写边说口诀：
“
一居上行正中央，后数依次右上
连．上出框时往下填，右出框
时往左填．排重便在下格填，右
上排重一个样
”
．见第二个图．这是法国人罗伯特总结出的
“
罗伯
法
”
，它对于构造连续自然数（以及能构成等差数列的数）幻方是最简单易行的，适用于所有奇数<
/p>
阶幻方．
1
7
23
4
24
5
6
1
7
13
19
25
8
1
4
20
21
2
15
16
22
3
9
10
12
11
18
②
阶梯法：阶梯法也叫楼梯
法，是法国数学家巴赫特创造的．这个方法十分简单而巧妙，适用于所
有奇数阶幻方．这
个方法把
n
阶方阵从四周向外扩展成阶梯状，然后把
n
2
个自然数顺阶梯方向先
码放好，再把方阵以外部分平移到方阵以内其对边部分去，即构成幻方．下面的图
⑴<
/p>
和图
⑵
表示
了如
何用阶梯法构成
5
阶幻方．图
⑴
中顶边以上的
4
、
5
、
10
三个数在图
⑵
中被移入底边上方相应
的
3
个原先为空的方格中，其余三侧照此处理．