小学奥数 6-1-23 鸡兔同笼问题(三).教师版
情不自禁的意思是什么-新年祝福词语
6-1-9.
鸡兔同笼问题（三）
1.
熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2.
利用鸡兔同笼的方法解决一些实
际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．
教学目标
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代
著名趣题之一．大约在
1500
年前，《孙子算经》中就记载了
这个有趣的问题．书
中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有
若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有
35
个头；从下面数，有
94
只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
< br>你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔
就变成
了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由
94
只变成了
47
只；如果笼子里有一只兔子，则
脚的总数就比头
的总数多
1
．因此，脚
的总只数
47
与总头数
35
的差，就是兔子的只数，即
47
35
12
（只）．显然，鸡
的只
数就是
35
12
23
（只）了。这一思路新
颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，
“鸡兔同笼”问题的
经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假
设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比
较，做差除二兔找到．<
/p>
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
<
/p>
如果假设全是兔，那么则有：鸡数
=
（每
只兔子脚数×鸡兔总数
-
实际脚数）÷（每只兔子脚数
-
每只鸡的脚数）
兔数<
/p>
=
鸡兔总数
-
鸡
数
如果假设全是鸡，那么就有：兔数
=
（实际脚数
-
每只鸡脚数×鸡兔总数
）÷（每只兔子脚数
-
每只鸡的脚
数）
鸡数
=
鸡兔总数
-
兔数
当头数一样时，脚的关系：兔子
是鸡的
2
倍
当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的
2
倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如
工程，行程，方程等
专题中也都会接触到假设法
例题精讲
模块一、多个量的“鸡兔同笼”——鸡兔同笼问题
【例
1
】
有
蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共
18
只，共有腿
118
条，翅膀
20
< br>对
(
蜘蛛
8
条腿；蜻蜓
6
条腿，两对
翅膀；蝉
6
条腿，一对翅膀
)
< br>，求蜻蜓有多少只？
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
4
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】
这
是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题
.
观察数字特点，
蜻蜓、
蝉都是
6
条腿，
只有蜘蛛
8
条腿
.
因此，
可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数
< br>.
我们假设三种动物都是
6
条腿
，则总腿数为
6
18
108
(
条
)
，所
差
118
108
10
(
条
)
，必然是由于少算
了蜘蛛的腿数而造成的
.
所以，应有
(
118
108)
< br>(8
6)
< br>5
(
只
)
蜘蛛
.
这样剩下的
18
5
13
(
只
)
便是蜻蜓和蝉的只数<
/p>
.
再从翅膀数入手，假设
13
只都是蝉，则总翅膀
数
1
13
13
(
对
)
，比实际数少
< br>
20
13
< br>
7
(
对
)
，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计
6-1
-9.
鸡兔同笼问题
.
题库
教师版
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算所差，这
样蜻蜓只数可求
7
(2
1)
7
(
只
).
【答案】
7
只
【巩固】
希望小学的生物标本室里有
蜻蜓，蝉，蜘蛛共
11
只，它们共有
7
4
条腿，
10
对翅膀，由图
7
知该
标本室里有
只蜘蛛。
图
7
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，<
/p>
4
年级，
1
试，
假设思想方法
【解析】
这
个题目就是有三种动物的鸡兔同笼问题，需先转化成两种动物。蜻蜓与蝉
有共同的特征，所以我
们可以先把它们看成一种动物，取名叫蜻蝉。用假设法知：如果这
11
只全是蜻蝉，则应长腿：
，比实际
少了：
74
66
8
（只）
，用一只蜘蛛去换一只
蜻蝉，则就多
2
只，要多
8
11
6
66
（只）
只则需要蜘蛛
8
2
4
（只）
。
【答案】
4
只
【巩固】
犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头
26
个，脚
< br>80
只，犄角
20
只．已知犀牛
有
4
只脚、
1
只犄角，
羚羊有
4
只脚，
2
只犄角，孔雀有
2
只脚，
没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
4
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】
这
道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观察
< br>一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是
4
只
脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这
两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”
问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开，
也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼
”．
假设
26
只都是孔雀，那么就有脚：
26
2
52
（只）
，比实际的少：
80
52
28
（只）
，这说明孔
雀
多了，
需要增加犀牛和羚羊．
每增加
一只犀牛或羚羊，
减少一只孔雀，
就会增加脚数：
（只）
．
所
4
2
2
< br>以，孔雀有
26
28
2
12
（只）
，犀牛和羚羊总共有
26
< br>
12
14
< br>（只）
．
假设
14
只都是犀牛，那么就有犄角：
14
1
14
< br>（只）
，比实际的少：
20
<
/p>
14
6
（只）
，这说明犀牛
多了羚羊少了，
需要减少
犀牛增加羚羊．
每增加一只羚羊，
减少一只犀牛，
犄角数就会增加：
2
1<
/p>
1
（只）
，所
以，羚羊的只数：
6
1
6
（只）
，犀牛的只数：
14
6
<
/p>
8
（只）
．
<
/p>
［小结］
这道题出现了三种动物，
关键是
寻找不同动物的相同点，
把三种动物化为两类，
先使用“鸡兔同
笼”
问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．<
/p>
【答案】犀牛
8
只，羚羊
6
只，孔雀
12
只
模块二、多个量的“鸡兔同笼”——变例
【例
2
】
食
品店上午卖出每千克为
20
元、
25
元、
30
元的
3
种糖果共
100
千
克，共收入
2570
元．已知其中
售出
每千克
25
元和每千克
30
元的糖果共收入了
1970
元，
< br>那么，
每千克
25
元的糖果售出
了多少千
克？
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】
每
千克
25
元和每千克
30
元的糖果共收入了
1970
元，
则每千克
20
元的收入：
2570
1970
600
元，
所以卖出：
600
20
30
千克，所以卖出每千克
25
元和每千克
30
克的糖果共
100
30
70
千克，
相
当于将题目转换成：卖出每千克
25
元和每千克
30
克的糖果共
70
千克，收入
1970
< br>元，问：每千克
25
元的糖果售出了多少千克？转换成了
最基本的鸡兔同笼问题．假设全是每千克
25
元的，
，所以
30
元的是
44<
/p>
千克，所以
25
元的有：
70
44=26
（千
1970
25<
/p>
70
30
25
=44
（千克）
克）
关键：
将三种以及更多的动物
/<
/p>
东西，
转化为两种最基本模型。
即：
抓住转化后的“头”与“脚”。
【答案】
26
千克
6-1-9.
鸡兔同笼问题
.
题库
教师版
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【巩固】
08
年春，我国南方遭受到重大雪灾，实验小学三年级一班的
42
名同学给南方的灾区捐款
450
元。
其
中有
12
名同学每人捐
5
元，其他同学捐
10
元或
2
0
元，则捐
10
元的有
名，捐
20
元的有
名。
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
3
年级，第
8
题，假设思想方法
【
解
析
】
由
< br>题意，
42
12=30
（名）同学捐
10
元或
20
元，一共捐了
450
12
5
390
（元）
，那么捐
2
0
元的同
学有：
(390
10
30)
(20
10)
9
（人）
，捐
10
元的有：
30
9
21
（
名）
。
【答案】
21
名
【例
3
】
某
场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共
400
张，甲类票
50
元／张，乙类票
4
0
元
/
张，丙类票
30
元
/
张，共收入
15500
元，其中乙类、丙类门票张数相同．则甲类、乙类、丙类门票分别
售出多
少张
?
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四
年级，二试，第
14
题
【解析】
鸡
兔同笼问题，乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为
35
元／张的同一类门票．容易得到甲
类门票售出
400
-
(
50
?
400
15500
)
?
(
50
35
)
=
100
张，乙类、丙类各售出
(400 -
100)÷2=150
张．
【答案】甲门票售出
100
张，乙和丙售出<
/p>
150
张
【例
4
】
有
红、黄、绿
3
种颜色的卡片共有
100
张，其中红色卡片的两面上分别写有
1
和
2
，黄色卡片的两面
上分别写着
1
和
3
，绿色卡片的两面上分别写着
2
和
3
．现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写
有较大数字
的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为
234
．若
把所有卡片正反面翻转一
下，各卡片所显示的数字之和则变成
1
23
．问黄色卡片有多少张？
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】
开
始的时候，
黄色和绿色的卡片上都是
3
，
红色卡片上是
2
．
< br>如果全部是红色卡片，
那么数字之和为：
2
100
200
，比实际的少：
234
200
34
．每增加一张黄色或绿
色卡片，那么数字就会增加：
，红色卡片有：
100
34
66
（张）
．
3
2
1
．那么，黄色和绿色卡片之和：
34
1
34
（张）
翻转过来后，
红色和黄色卡片上都是
1
，
绿色卡片上是
2
．
红色卡片有
66
张，
剩下的绿色和黄色卡片
上的数字之和为：
123
1
66
< br>
57
．如果
34
张卡片都是黄色的，那么这
34
张卡片上的数字之和
为：
1
34
34
，比实际的少：
57
34
23
．每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：
2
1
1
，所以
，
绿色卡片有：
23
1
23
（张）
，黄色卡片有：
34
23
11
（张）
．
【答案】
11
张
【例
5
】
商
店出售大
,
中
,<
/p>
小气球
,
大球每个
3
元
,
中球每个
1.5
元
,
小球每个
1
元
.
张老师用
120
元共买了
55
个球
,
其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多
.
问每种球各买几个？
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
【解析】
因
为总钱数是整数
,
大
,
小球的价钱也都是整数
,
所以买中球的钱数是整数
,
而且还是
3
的整
数倍
.
我们设想买中球
,
小球钱中各出
3
元
.
就可买
2
个中球
,3
个小球
.
因此
,
可以把这两种球看作一种
,
每个价钱
是
(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元
).
从公式可算出
,
大球个数是
(120-
1.2×55)÷(3
-1.2)=30(
个
).
买
中
,
小球钱数各是
(120-
30×3)÷2=15(元
).
可买
10
个中球
,15
个小球
.
【答案】大球
30
个，中球
10
个。小球
15
个
【例
6
】
从
甲地至乙地全长
45
千米
< br>,
有上坡路
,
平路
,
下坡路
.
李强上坡速度是
每小时
3
千米
,
平路上速度
是每小时
5
千米
,
下坡速度是每小时
6
千米
.
从甲地到乙地
,
李强行走了
10
小时
;
从乙地到甲地
,
李强行走了
< br>11
小时
.
问从甲地到乙地
,
各种路段分别是多少千米
【考点】鸡兔同笼问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】假设思想方法
6-1-9
.
鸡兔同笼问题
.
题库
教师版
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