小学奥数中的涂色问题教学内容
垂涎欲滴的意思-平安夜送苹果代表什么
小
学
数
中
< br>的
题
色
奥
涂
问
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涂色问题的常见方法
与涂色问
题有关的试题新颖有趣
,
其中包含着丰富的数学思想。解决涂色
问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、
分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的
常见类型及求解方法。
一、
区域涂色问题
1
、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本
方法。
例
1
、
用
5
种不同的颜色给图中标①、②、③、④
的各部分涂色，每部分
只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少<
/p>
种？
①
②
③
④
分析：先给①号区域涂色有
5<
/p>
种方法，再给②号涂色有
4
种方法，接着
给③
号涂色方法有
3
种，由于④号与①
、②不相邻，因此④号有
4
种涂法，根据分
步计数原理，不同的涂色方法有
5
4
3
4
240
2
、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再
< br>用加法原理求出不同的涂色方法种数。
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例
2
、（
2003
江苏卷）四种不同的颜
色涂在如图所示的
6
个区域，且相邻
两
个区域不能同色。
分析：依题意只能选用
4
种颜色，要分四类：
（
1
）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
（
2
）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
（
3
）②与⑤同色、③与⑥
同色，则有
A
4
4
；
（
4
）③与⑤同色、②
色，则有
A
4
4
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为
5
A
4
4
=120
例
3
、（
2003
年
全国高考题）如图所示，一个地区分为
5
个行政区域，现给地<
/p>
图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有
4
种颜色可供选择，则不同的
着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用
3
种颜色
1)
当先用三种颜色时，区域
2
与
4
必须同色，
3
3
2)
区域
3
与
5
必须同
色，故有
A
4
种；
⑤
⑥
②
①
④
③
与④同色，则有
A
4
4
；（
5
）②与④同色、③与⑥同<
/p>
2
1
4
5
3)
当用四种颜色时，若区域
2
与
4
同色，
4)
则区域
3
与
5
不同色，有
A
4
4
种；若
区域
3
与
5
同
色，则区域
2
与
4
不同色，有
A
4
4
种，故用四种颜色时共有
2
A
4
4
种。由加法原理可
3
知满足题意的着色方法共有
A
4
+2
A
4
4
=24+2
24=72
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3
、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色
与不同色入手，分
别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同
涂色方法总数。
例
4
用红、黄、蓝、白、黑五种颜
色涂在如图所示的四个区域内，每
个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果
颜色可以反复
使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
（
1
）
四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
4
；
（
2
）
有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
1
2
2
C
5
A
4
；
2
3
1
4
5)
两
组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
5
2
，
1
< br>2
A
4
A
5
2
2
60
因此，所求的涂法种数为
A
5
2
2
C
5
4
、根据相间区使
用颜色的种类分类
例
5
如图，
6
个扇形区域
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F<
/p>
，现给这
6
个区域着
色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜
C
B
D
色
，现有
4
种不同的颜色可
A
1
解（
1
）当相间区域<
/p>
A
、
C
、
E
着同一种
A
E
F
颜色时，
有
4
种着色方法，此时，
B
、
D
、
F
各有
3
种着色方法，
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此时，
B
、
D
、
F
各有
3
种着色方法故有
4
3
< br>3
3
108
种方法。
（
2
）当
相间区域
A
、
C
、
E
着色两不同的颜色时，有
C
3
2
A
4
2
种着色方
法，此时
B
、
D
、
F
有
3
2
2
种着色方法，故共有
C
3
2
A
4
2
3
2
2
432
种着色方法。
3
（
3
）当相间区域
A
、
C
、
E
着三种不同的颜色时有
A
4
种着色方法，
3
2
2<
/p>
2
192<
/p>
种方
此时
B
、<
/p>
D
、
F
各有
2
种着色方法。此时共有
A
4
法。
故总计有
108+432+192=732
种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成
n
(
n
2)
个扇形，每个扇形用红、白、
蓝、黑四色之一染色，要求相邻扇
形不同色，有多少种染色方法？
A
1
A
2
解：设分成
n
个扇形时染色方法为
a
n
种
（
1
）
当
n=2
时
A
1
、
A
2
有
A
4
2
=12
种，即
a
2
=12
A
3
A
n
L
A
4
A
3
（
2
）
当分成
n
个扇形，如图，
A
1
与
A
2
不同色，
A
2
与
A
3
不同
色，
L
，
A
n
1
与
< br>A
n
不同色，共有
4
3
n
1
种染色方法，
但由于
A
n
与
A
1
邻，所以应
排除
A<
/p>
n
与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A
1
同色时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形，与前
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