小学奥数同余问题复习进程
指南针为什么不叫指北针-垒球图片
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同余问题（一）
在平时
解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是
7
时
30
分，再
过
52
小时是几时几分？我们知道一天是
24
小时，
，
也就是说
52
小时里包含两个整
天再加上
4
小时，这样就在
7
时
3
0
分的基础上加上
4
小时，就是
11
时
30
分。很明
显这个问题的着
眼点是放在余数上了。
1.
同余的表达式和特殊符号
37
和
44
同除以
7
，余数都是
2
，把除数
7
称作“模
7”，
37
、
44
对于模
7<
/p>
同余。
记作：
（
mod7
）
“
”读作同余。
一般地，
两个整数
a
和
b
，
除以大于
1
的自然数
m
所得的余数相同，<
/p>
就称
a
、
b
对于模
m
同余，
记
作：
2.
同余的性质
（
1
）
（
2
）若
（
3
）若
（
4
）若
减性）
（
5
）若
如果
那么
（
<
/p>
的差一定能被
k
整除）
< br>
（称为同余的可乘性）
，则
，
n
为正整数，同余还有一个非常有趣
的现象：
（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）
，那么
，
，
，则
，则
（这称作同余的对称性）
（这称为同余的传递性）
（
）（这称为同余的可加性、可
这是为什么呢？
k
也就是
的公约数，所以有
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下面我们应用同余的这些性质解题。
【例题分析】
例
1.
用
4
12
、
133
和
257
除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答：
假设这个自然数是
a
，
因为
412
、
133
和
257
除以
a
所得的余数相同，
所以
说明
a
是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以
a
最大
是
31
。
，
，
例
2.
分析与解答：
除以
< br>19
，余数是几？
如果把
三个数相乘的积求出来再除以
19
，就太麻烦了，利用同余思想
解决就容易了。
所以
此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。
例
3.
有一个
1997
位数，它的每个数位都是
2
，
后余数是几？
分析与解答：
这个数除以
13
，商的第
100
位是
几？最
这个数除以
13
，商是有规律的。
商是
170940
< br>六个数循环，那么
我们找的那个数“9”，所以商的第
1
00
位是
9
。
余数是几呢？
，即
，我们从左向右数“170940”的第
4
个数就是
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则
所以商的个位数字应是“170940”中的第
4
< br>个，商应是
9
，相应的余数是
5
。
【模拟试题】
（答题时间：
20
分钟）
1.
求下列算式中的余数。
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2. 6254
与
37
的积除以
7
，余数是几？
3.
如果某数除
482
，
992
，
1094
都余
74
，这个数是几？
同余问题（二）
【例题分析】
例
1.
除以
7
，余数是几？
分析与解答：
例
2.
一个自然数除以
3
余
< br>2
，除以
5
余
< br>3
，除以
7
余
< br>1
，这个自然数最小是几？
分析：
假设这个自然数为
a
那么
这道题考虑的困难是它们的余数不相同。
如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：
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